Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f(

1

2

)=1，且满足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．对数列{x_n}有x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（x_n）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*且

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立？若存在，求出m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定义判断．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)易知0＜x_n＜1，由主条件得f(xn)-f(-xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)和f（x）在（-1，1）上为奇函数得f（x_n+1）=2f（x_n）再由f（x₁）=1，得到f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列求解．
（3）由（2）将

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立转化为2-

1

2n-1

＜

m-8

4

恒成立，由2-

1

2n-1

＜2得

m-8

4

≥2求解．

解答：解：（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)易知：{x_n}中0＜x_n＜1，
∵f(xn)-f(-xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)且f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴f（x_n+1）=2f（x_n）由f(

1

2

)=1，x1=

1

2

∴f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列∴f（x_n）=2^n-1
（3）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

=1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=2-

1

2n-1

假设存在m使得

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立，即2-

1

2n-1

＜

m-8

4

恒成立，
∵2-

1

2n-1

＜2，
∴

m-8

4

≥2，
∴m≥16，
∴存在自然数m≥16，
使得

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立，此时最小的自然数m=16．

点评：本题主要考查抽象抽象函数判断奇偶性及求解析式，进而转化为数列模型研究等比数列求和解决恒成立问题．