Question

过点P（2，3）的直线l被两平行直线l₁：2x-5y+9=0与l₂：2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上．
（Ⅰ）求l₁和l₂间的距离；
（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由两条平行线之间的距离公式，结合题中数据加以计算即可得到l₁和l₂间的距离；
（II）求出位于直线l₁和l₂之间，且与直线l₁和l₂距离相等的直线方程，与直线x-4y-1=0联解得到AB中点坐标为C（-3，-1），从而求出直线PC方程，即得所求直线l的方程．

解答：解：（I）根据两条平行线之间的距离公式，得
l₁和l₂间的距离d=

|-7-9|

22+(-5)2

=

16 29

29

；
（II）由题意，AB的中点必定在直线2x-5y+1=0上，
联解

2x-5y+1=0 x-4y-1=0

，得中点坐标为C（-3，-1）
∵点P坐标为（2，3），
∴PC的斜率为k=

-1-3

-3-2

=

4

5

，得直线PC的方程为y-3=

4

5

（x-2）
化简，得y=

4

5

x+

7

5

，即为所求直线l的方程．

点评：本题给出平行直线，求经过定点且被平行直线截得中点在定直线上的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和距离公式等知识，属于中档题．