Question

已知：平面α∩平面β=直线a．

α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．

求证：(Ⅰ)a⊥γ；

(Ⅱ)b⊥γ．

Answer 1

解析:

证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．                                                             ——1分

∵ γ⊥α，

∴ PM⊥α．

而  aα，

∴ PM⊥a．

同理PN⊥a．            ——4分

又  PMγ，PNγ，

∴ a⊥γ．              ——6分

(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a₁，交β于直线a₂．    ——7分

∵ b∥α，∴ b∥a₁．

同理b∥a₂．                                                         ——8分

∵ a₁，a₂同过Q且平行于b，

∵ a₁，a₂重合．

又  a₁α，a₂β，

∴ a₁，a₂都是α、β的交线，即都重合于a．                           ——10分

∵ b∥a₁，∴ b∥a．

而a⊥γ，

∴ b⊥γ．                                                         ——12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．                    ——1分

∵ α⊥γ，P∈α，

∴ a′α．

同理a′β．                      ——3分

可见a′是α，β的交线．

因而a′重合于a．                   ——5分

又  a′⊥γ，

∴ a⊥γ．                          ——6分

(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．                                                      ——7分

∵ b∥α，b∥β．

∴ b∥c，b∥d．                                                    ——8分

又  cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．                                                        ——9分

∵ c∥β，cα，α∩β=a，

∴ c∥a．                                                         ——10分

∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，

∴ b∥a．                                                          ——11分

而 a⊥γ，

∴ b⊥γ．                                                         ——12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．