Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.
(1)求a₂的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有.

Answer 1

（1）a₂＝4.（2）a_n＝n².（3）见解析

(1)2S₁＝a₂－－1－，又S₁＝a₁＝1，所以a₂＝4.
(2)当n≥2时，2S_n＝na_n＋1－n³－n²－n，
2S_n－1＝(n－1)a_n－(n－1)³－(n－1)²－ (n－1)，
两式相减得2a_n＝na_n＋1－(n－1)a_n－ (3n²－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)a_n＝na_n＋1－n(n＋1)，
即＝1，又＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以a_n＝n².
(3)当n＝1时，＝1＜，当n＝2时，＋＝1＋＝＜，
当n≥3时，＝＜＝，
＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＝＋－＝－<，所以对一切正整数n，有.