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在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c=2,且数学公式
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)如图,设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧数学公式上,求△PAC面积最大值.

(1)证明:由正弦定理得,…(2分)
整理为sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,…(3分)
又因为0<2A、2B<2π,
∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或.…(6分)
,∴A=B舍去,故
可知,∴△ABC是直角三角形.…(6分)
(2)解:由(1)及c=2,及勾股定理得a=1,,…(7分)
,则,…(8分)
在Rt△PAB中,PA=AB•cosθ=2cosθ
所以=…(10分)
==
===…(12分)
因为
所以
,即时,S△PAC最大值等于.…(14分)
分析:(1)由正弦定理求得sin2A=sin2B,故2A=2B或2A+2B=π,再由,可得只能,从而得到
△ABC是直角三角形.
(2)由(1)及c=2,及勾股定理得a=1,,设,则 PA=AB•cosθ=2cosθ,化简△PAC面积为,再由θ的范围可得时,S△PAC 取得最大值.
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦定理、正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

8、对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90o,则||AC||2+||CB||2=||AB||2
③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在复平面内所对应的点在直线y=x上.
(1)求角B的大小;
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圆的面积为4π,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”.
②在平面内,F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足||MF1|-|MF2||=4,则点M的轨迹是双曲线.
③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件.
④“若-3<m<5则方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1
是椭圆”.
⑤在四面体OABC中,
OA
=
a
OB
=
b
OC
=
c
,D为BC的中点,E为AD的中点,则
OE
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

⑥椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为5.
其中真命题的序号是:
①②③⑤⑥
①②③⑤⑥

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在复平面内所对应的点在直线y=x上.
(1)求角B的大小;
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圆的面积为4π,求△ABC的面积.

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