Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④x1 ， x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；

∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；

∴故①错误，

②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；

又f（0）=0；

∴f（x）有3个零点；

故②错误，

③当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；

即x＜﹣1，

当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；

得0＜x＜1，

∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；

故③正确，

④当x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；

∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；

∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；

∴f（x）＜f（0）=1；

即﹣e﹣2＜f（x）＜1；

当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；

∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；

x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；

∴f（x）＞f（0）=﹣1；

∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；

∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；

∴x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；

故④正确，

∴正确的命题为③④．

所以答案是：C .

【考点精析】利用函数奇偶性的性质和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．