Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，连结并延长交椭圆于点，连结，，记椭圆的离心率为.

（1）若，.

①求椭圆的标准方程；

②求和的面积之比.

（2）若直线和直线的斜率之积为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①.② ；（2）.

【解析】

（1）①设椭圆的焦距为，根据题意列出有关、、的方程组，求出、的值，可得出椭圆的标准方程；

②求出直线的方程，将该直线方程与椭圆的标准方程联立，求出点的坐标，再利用三角形的面积公式可求出和的面积之比；

（2）先利用截距式得出直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用斜率公式计算出直线和的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为，得出关于、的齐次方程，由此可解出椭圆的离心率的值.

（1）①设椭圆的焦距为，由题意，得，解得，

所以椭圆的标准方程为；

②由①知，、，，，

所以直线的方程为，

将其代入椭圆的方程，得，即，

所以或，所以点的坐标为.

从而和的面积之比：；

（2）因为、在直线上，所以直线的方程为.

解方程组，得或，

所以点的坐标为.

因为直线的斜率，

直线的斜率，

又因为直线和直线的斜率之积为，

所以，

即，化简得，，解得.

因此，椭圆的离心率为.