Question

5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求的最小正周期和在$[\frac{π}{6}，π]$上单调递减区间；
（2）在△A BC中，角 A，B，C的对边分别是a，b，c，且若f（ B）=3，b=3，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式可得最小正周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间，从而得解在$[\frac{π}{6}，π]$上单调递减区间．
（2）由f（ B）=3，解得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围B∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求B，由余弦定理可得：9=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，由基本不等式可得9≥ac，从而解得a+c≤6，由两边之和大于第三边可得a+c＞b=3，从而可得a+c的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos²$\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$sinx+1+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[2kπ$+\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z，
∴在$[\frac{π}{6}，π]$上单调递减区间为：[$\frac{π}{3}$，π]．
（2）∵f（ B）=3，即：2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1=3，解得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：B=$\frac{π}{3}$，
∵b=3，
∴由余弦定理可得：9=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵由a²+c²≥2ac，可得：9≥ac，可得：（a+c）²=9+3ac≤36，解得：a+c≤6．
又∵a+c＞b=3，
∴解得：3＜a+c≤6．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．