Question

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是梯形，AB∥CD，M是PC的中点，AM与平面PBD交于点E，且AE=EM．
（1）证明：CD=2AB；
（2）若PB=BC且平面PBC⊥平面PDC，证明：PA=AD．

Answer 1

分析 （1）取CD，BC的中点N，O，连接MN，ON，MN，AN，证明平面PDB∥平面MNO，利用AM与平面PBD交于点E，且AE=EM，可得AQ=QN，即可证明CD=2AB；
（2）取PD的中点G，连接AG，证明AG⊥平面PDC，即可证明PA=AD．

解答 证明：（1）取CD，BC的中点N，O，连接MN，ON，MN，AN，则
∵MN∥PD，ON∥BD，MN∩ON=N，PD∩BD=D，
∴平面PDB∥平面MNO，
∵AM与平面PBD交于点E，且AE=EM，
∴AQ=QN，
∴AB=DN，
∵CD=2DN，
∴CD=2AB；
（2）∵PB=BC，M是PC的中点，
∴BM⊥PC，
∵平面PBC⊥平面PDC，平面PBC∩平面PDC=PC，
∴BM⊥平面PDC，
取PD的中点G，连接AG，则AGMB是平行四边形，
∴AG∥BM，
∴AG⊥平面PDC，
∴AG⊥PD，
∵PD的中点为G，
∴PA=AD．

点评 本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．