Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆 的离心率为 ，∴

∴

∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切．

∴b=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为 ；

（2）解：由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x﹣4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0

设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），

∴x1+x2= ，x1x2=

又直线AE的方程为y﹣y2=

令y=0，则x=x2﹣ =x2﹣ = =1

∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）

【解析】（1）根据椭圆 的离心率为 ，可得 ，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，可得b= ，从而可求椭圆的方程（2）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x﹣4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．