Question

已知拋物线y²=2px（p＞0）上一动点P，抛物线内一点A（3，2），F为焦点且|PA|+|PF|的最小值为

7

2

．
（1）求抛物线的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值时的P点坐标；
（2）过（1）中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点，直线CD是否过一定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+

p

2

=

7

2

，由此能求出抛物线方程和P点坐标．
（2）设C(

y12

2

，y1)，D(

y22

2

，y2)，则直线CD的方程为y=

2

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，由PC⊥PD，得y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），代入直线CD，得y+2=

2

y1+y2

(x-4)，由此知直线CD过定点（4，-2）．

解答：解：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+

p

2

=

7

2

，
∴p=1，
∴抛物线方程为：y²=2x，
此时P点坐标为（2，2）．
（2）设C(

y12

2

，y1)，D(

y22

2

，y2)，
则直线CD的方程为：y-y2=

2

y1+y2

(x-

y22

2

)，
即：y=

2

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∵PC⊥PD，∴

4

(y2+2)(y1+2)

=-1，
∴y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），
代入直线CD，得y=

2

y1+y2

x-

8

y1+y2

-2，
即：y+2=

2

y1+y2

(x-4)，
∴直线CD过定点（4，-2）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．