Question

正三棱台的上、下底边长为2和4．
（Ⅰ）若该正三棱台的高为 1，求此三棱台的侧面积
（Ⅱ）若侧面与底面所成的角是60°，求此三棱台的体积；
参考公式：台体的体积公式V_台体=．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中点D₁，DO₁，O分别为△A₁B₁C₁，△ABC的中心，过D₁作D₁M⊥DC，利用三棱台的侧面积公式，即可求得结论；
（Ⅱ）确定台体的高，再确定上、下底的面积，即可求此三棱台的体积．
解答：解：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中点D₁，D，O₁，O分别为△A₁B₁C₁，△ABC的中心，过D₁作D₁M⊥DC，则D₁C₁=，DC=2 ，从而D₁O₁=，DO=，
∴DM=，
∵D₁M=1，∴D₁D=
∴S_侧=3×=6 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在直角△D₁DM中，∠D₁DM=60°，即侧面与底面所成的角，故台体的高为1，
∵正三棱台的上、下底边长为2和4
∴S_△A1B1C1=，S_△ABC=4
∴V_台=×1×（++4）=．
点评：本题考查求此三棱台的侧面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．