Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点对称，且满足，又f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=________．

Answer 1

解：因为函数f（x）满足，则f（x）=f（x+3）
又f（-1）=1，f（0）=-2，则f（-1）=f（-1+3）=f（2），又f（0）=f（0+3）=f（3）．
又函数f（x）的图象关于点对称，
f（-1）=f（-）=f（-+）=f（1）所以f（1）+f（2）+f（3）=0．
又f（1+3）=f（4），f（2+3）=f（5），f（3+3）=f（6）…又．
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=f（1）=f（-1）=1
故答案为1．
分析：首先由函数且满足，又f（-1）=1，f（0）=-2，可以分析得f（x）=f（x+3）即可求出f（2）和f（3）．又函数f（x）的图象关于点对称，又可推出f（-1）=f（1），综合考虑几个周期关系条件即可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．
点评：此题主要考查函数的周期性问题，其中应用到函数关于点对称的性质，对于函数周期性这个考点考查的时候多和奇偶性，对称性问题综合考虑，技巧性较强．