Question

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos²ωx-1）（ω＞0）在x=

π

12

时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（I）求a、b的值；
（II）若f(α)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4α)的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式化简函数为f（x）=Asin（2ωx+?），根据在x=

π

12

时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．求出A，T，解得ω，利用f(

π

12

)=2，求出?，然后求出a、b的值；
（II）通过（I）以及f(α)=

2

3

，求出sin(2α+

π

3

)=

1

3

，利用诱导公式化简sin(

5π

6

-4α)，通过二倍角公式求出sin(

5π

6

-4α)的值．

解答：解：（I）f（x）=asin2ωx+bcos2ωx，
可设f（x）=Asin（2ωx+?），其中A=

a2+b2

，sin?=

b

a2+b2

，cos?=

a

a2+b2

由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由

2π

2ω

=π，知ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+?）（3分）
∵f(

π

12

)=2，∴sin(

π

6

+?)=1，从而

π

6

+?=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即?=

π

3

+2kπ(k∈Z)，∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)=sin2x+

3

cos2x，
从而a=1，b=

3

（6分）

（II）由f(α)=

2

3

知2sin(2α+

π

3

)=

2

3

，即sin(2α+

π

3

)=

1

3

．
∴sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-(4α+

2π

3

)]=-cos(4α+

2π

3

)
=-1+2sin2(2α+

π

3

)=-1+2×(

1

3

)2=-

7

9

．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简、求值，函数的基本性质：最值、周期，二倍角公式，两角和的正弦函数，诱导公式的应用，是综合题，考查计算能力，仔细分析题目的含义，是解好数学题目的基础．