Question

如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）
∴-16+4b+c=0，-1+b+c=3，
∴二次函数的关系式为y=-x²+4x，
对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
（2）由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）．
四边形OAPF的面积=（OA+FP）÷2×|n|=20，
即4|n|=20，n=-5．
（因为点P（m，n）在第四象限，所以n＜0），
所以 m²-4m-5=0，m=5．
（因为点P（m，n）在第四象限，所以m＞0）
故所求m、n的值分别为 5，-5．
分析：（1）因为抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3），代入求出其解析式，然后再根据对称轴公式和顶点公式；
（2）由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n），根据四边形OAPF的面积为20，从而求出其m，n的值；
点评：此题主要考查二次函数的性质，坐标轴公式，顶点公式，此题是一道综合题，注意第二问难度比较大；