Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x₀∈D，使F（x₀）=x₀成立，则称x₀为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：10f(n)•(

4

5

)g(n)＜4．
（参考数据：lg3=0.3010，(

4

5

)9=0.1342，(

4

5

)16=0.0281，(

4

5

)25=0.0038）

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值；
（2）确定函数解析式，利用不动点的定义，可得实数b的取值范围；
（3）由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减，可得G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}，从而不等式得到证明．

解答：（1）解：∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1．                      …（2分）
（2）解：由（1）知，f(x)+g(x)+b=

x2+3x+bx≥1 x2+x+2+bx＜1

．
当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此时b≤-3．       …（4分）
当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2…（5分）
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此时b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]．  …（7分）
（3）证明：设G(n)=10f(n )•(

4

5

)g( n )．
因为n为正整数，
∴G(n)=10n-1•(

4

5

) n2+2n+1＞0．                    …（8分）
∴

G(n+1)

G(n)

=

10n•( 4 5 ) (n+1)2+2(n+1)+1

10n-1•( 4 5 ) n2+2n+1

=10×(

4

5

) 2n+3．     …（9分）
当

G(n+1)

G(n)

＜1时，10×(

4

5

) 2n+3＜1，即(2n+3)lg(

4

5

)＜-1，亦即2n+3＞

-1

3lg2-1

，∴n＞

1

2-6lg2

-

3

2

≈3.7．                        …（11分）
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．                      …（12分）
又G(3)=102×(

4

5

)16=100×0.0281=2.81，G(4)=103×(

4

5

)25=1000×0.0038=3.8，
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4．                            …（14分）

点评：本题考查新定义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．