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    设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为
    i
    、
    j
    ，坐标平面上的点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①
    OA1
    =2
    j
    且
    AnAn+1
    =
    i
    +
    j
    ；②
    OB1
    =2
    i
    且
    BnBn+1
    =(
    3
    4
    )n×2
    i
    ；求
    OAn
    及
    OBn
    的坐标；若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；对于（2）中的an，是否存在最小的自然数N，当n＞N时恒有an+1＜an成立？若存在，求出N的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据①以及向量加法的三角形法则求出
    OAn
    =
    OA1
    +
    A1A2
    +…+
    AnAn+1
    2
    j
    +(n-1) (
    i
    +
    j
    )    =（n-1，n+1），同理求出
    OBn
    的坐标；
    （2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点Bn都在x轴上；记C（-2，0），利用分割的方法求四边形AnBnBn+1An+1的面积是an=S△CBn+1An+1-S△CAnBn，代入面积公式即可求得；
    （3）由（2）知：an+1-an=5+(
    3
    4
    )    n    (n-1)    -[5+(
    3
    4
    )    n    (n-2)    ]=(
    3
    4
    )    n    (
    5-n
    4
    )    ，分类讨论即可求得结论．
    解答：解：（1）
    OAn
    =
    OA1
    +
    A1A2
    +…+
    AnAn+1
    =2
    j
    +(n-1) (
    i
    +
    j
    )    =（n-1，n+1），
    OBn
    =
    OB1
    +
    B1B2
    +…+
    BnBn+1
    =2
    i
    [1+
    3
    4
    +(
    3
    4
    )    2     +…+(
    3
    4
    )    N-1    ]
    =8
    i
    [1-(
    3
    4
    )    n    ]    =（8[1-(
    3
    4
    )    n    ]    ，0）；
    （2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点Bn都在x轴上；
    记C（-2，0），
    则an=SAnBnBn+1 An+1=S△CBn+1An+1-S△CAnBn
    =
    1
    2
    [10-8(
    3
    4
    )    n    ]-(n+1)    =5+(
    3
    4
    )    n    (n-2)    ，
    ∴an=5+(
    3
    4
    )    n    (n-2)    ，
    （3）由（2）知：an+1-an=5+(
    3
    4
    )    n    (n-1)    -[5+(
    3
    4
    )    n    (n-2)    ]=(
    3
    4
    )    n    (
    5-n
    4
    )    ，
    当n=5时，a5=a6；
    当n≥6时，：an+1-an＜0
    所以存在最小的自然数N=5，
    当n＞N时恒有：an+1＜an成立．
    点评：此题是个中档题．考查向量与数列的综合，主要考查了向量的加法的三角形法则和坐标表示，以及数列比较大小的方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
    i
    、
    j
    ，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
    ①
    OA1
    =16
    j
    且
    An-1A
    n    =
    i
    （n∈N*，n≥2）；
    ②
    OB1
    =
    i
    +
    1
    2
    j
    且
    Bn-1Bn
    =-
    1
    n(n+1)
    j
    (n∈N*，n≥2)    ．
    （1）求
    OAn
    及
    OBn
    的坐标；
    （2）设an=
    OAn
    •
    OBn
    ，求an的通项公式；
    （3）对于（Ⅱ）中的an，是否存在最大的自然数M，对所有n∈N*都有an≥M成立？若存在，求M值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
    i
    、
    j
    ，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
    ①
    OA1
    =
    j
    且
    AnA
    n+1    =
    i
    +
    j
    ；②
    OB1
    =3
    i
    且
    BnBn+1
    =(
    2
    3
    )n ×3
    i
    ．
    （1）求
    OAn
    及
    OBn
    的坐标；
    （2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；
    （3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切（n∈N*）都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
    i
    、
    j
    ，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
    ①
    OA1
    =4
    j
    且
    An-1A
    n    =
    i
    （n∈N*，n≥2）；
    ②
    OB1
    =
    i
    +
    1
    2
    j
    且
    Bn-1Bn
    =-
    1
    n(n+1)
    j
    (n∈N*，n≥2)    ．（其中O为坐标原点）
    （I）求向量
    OAn
    及向量
    OBn
    的坐标；
    （II）设an=
    OAn
    •
    OBn
    ，求an的通项公式并求an的最小值；
    （III）对于（Ⅱ）中的an，设数列bn=
    sin
    nπ
    2
    cos
    (n-1)π
    2
    (n+1)an-6n+3
    ，Sn为bn的前n项和，证明：对所有n∈N*都有Sn＜
    89
    48
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
    i
    、
    j
    ，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①
    OA1
    =
    j
    且
    AnAn+1
    =
    i
    +
    j
    ；②
    OB1
    =3
    i
    且
    BnBn+1
    =(
    2
    3
    )    n    ×3
    i
    ．
    （1）求
    OA2
    及
    OA3
    的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；
    （2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；
    （3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

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