Question

7．已知数列{a_n}的通项a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$），n∈N^*，其前n项和为S_n，则S₆₀=1840．

Answer 1

分析 利用倍角余弦公式得出a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²cos$\frac{2nπ}{3}$，周期为3，再利用分组法求和，即可得到所求值．

解答 解：a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²cos$\frac{2nπ}{3}$，
由T=$\frac{2π}{\frac{2π}{3}}$=3，即最小正周期为3，
所以a_3k-2+a_3k-1+a_3k=-$\frac{1}{2}$（3k-2）²-$\frac{1}{2}$（3k-1）²+（3k）²=9k-$\frac{5}{2}$，其中k∈N^*
所以S₆₀=9×（1+2+3+…+20）-$\frac{5}{2}$×20=9×210-50=1840．
故答案为：1840．

点评 本题考查数列求和方法：分组求和，考查三角函数的二倍角公式和周期公式的运用，用k表示相邻三项的和是解题的关键．