Question

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，AB=

3

，E、F分别为AC、AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）通过证明CD⊥平面ABC，CD∥EF，说明EF?平面BEF，即可证明平面BEF⊥平面ABC；
（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，可得AH⊥平面BEF，推出∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△AFH中，求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．

解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，
由（1）可得AH⊥平面BEF，
∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．
在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=1，E为AC中点，
∴∠ABE=30°，
∴AH=

1

2

AB=

3

2

．
在Rt△BCD中，BC=CD=1，
∴BD=

2

．
∴在Rt△ABD中，AD=

5

∴AF=

1

2

AD=

5

2

．
∴在Rt△AFH中，sin∠AFH=

AH

AF

=

15

5

，
∴AD与平面BEF所成角的正弦值为

15

5

．

点评：证明两个平面垂直，关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直；利用三垂线定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角，是常用方法．