Question

如图，四棱柱中，平面．

（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件，并给予证明；
①，②；③是平行四边形．
（Ⅱ）设四棱柱的所有棱长都为1，且为锐角，求平面与平面所成锐二面角的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由平面和可以得到平面，从而可以得到，结合作已知条件，可以证明平面，进而可以得到；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，将题中涉及的关键点用参数表示出来，并将问题中涉及的二面角的余弦值利用参数表示出来，结合函数的方法确定二面角的余弦值的取值范围，进而确定二面角的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）条件②，可做为的充分条件.     1分
证明如下：
平面，，平面，   2分
∵平面，.
若条件②成立，即，∵，平面，    3分
又平面，．  ..4分
（Ⅱ）由已知，得是菱形，.
设，为的中点，则平面，
∴、、交于同一点且两两垂直.   5分
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．6分

设，，其中，
则，，，，，
，，   7分
设是平面的一个法向量，
由得令，则，，
，     9分
又是平面的一个法向量，   10分
，  11分
令，则，为锐角，
，则，，
因为函数在上单调递减，，
所以，  12分
又， ，
即平面与平面所成角的取值范围为．  13分