Question

定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（　　）
①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；
②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；
③函数f（x）=f（a-x），则f′（x）=-f′（a-x）；
④若f′（x）是增函数，则f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：①由f′（x）＞g′（x），由导数的几何意义可得：函数f（x）比g（x）增加的快，而函数f（x）的图象不一定在函数g（x）的图象上方；
②利用轴对称的性质，考虑其逆否命题即可得出；
③由复合函数的导数运算法则即可得出；
④利用导数的几何意义即可得出．

解答：解：①由f′（x）＞g′（x），说明函数f（x）比g（x）增加的快，而函数f（x）的图象不一定在函数g（x）的图象上方，因此不正确；
②由函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，可得f′（x）=g′（2a-x）．
假设函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）不对称，则g（2a-x）≠-f（x），
∴g′（2a-x）≠f′（x），
这与f′（x）=g′（2a-x）相矛盾，因此假设不成立．
∴函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称，正确．
③函数f（x）=f（a-x），由复合函数的导数运算法则可得：f′（x）=-f′（a-x），故正确；
④由f′（x）是增函数，可得f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

正确．
综上可知：②③④正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了导数的意义及其运算法则、函数的轴对称等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．