Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：m、n∈N₊时，m（m+n）[

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

]＞n．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（2）由（2）知，当a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x

；从而证明．

解答： 解：（1）f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，
f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

；
①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；
②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；
③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；
④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；
（2）证明：由（1）知，
当a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0；
当且仅当x=1时，等号成立；
即lnx≤x²-x，
当＞1时，

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x

；
故

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

＞

1

m+n-1

-

1

m+n

+

1

m+n-2

-

1

m+n-1

+…+

1

m

-

1

m+1

=

1

m

-

1

m+n

=

n

m(m+n)

；
故m（m+n）[

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

]＞n．

点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．