【题目】设函数
．
（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）讨论函数
的单调性；
（3）当
时，求证：对任意
，都有
．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）当
时，求出导数易得
，即
，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得
，分为
和
两种情形判断其单调性；（3）当
时，根据（2）可得函数
在
上单调递减，故
，即
，化简可得所证结论.
试题解析：（1）当
时， 
， 
， 
， 
，所以函数
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）
，定义域为
， 
．
① 当
时， 
，故函数
在
上单调递减；
② 当
时，令
，得
x |
|
|
|
|
|
|
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
综上所述，当
时， 
在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（3）当
时，由（2）可知，函数
在
上单调递减，显然， 
，故
，所以函数
在
上单调递减，对任意
，都有
，所以
．所以
，即
，所以
，即
，所以
，即
，所以
．
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点． 
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
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【题目】如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（ ） 
A.8cm
B.6cm
C.2（1+ 
）cm
D.2（1+ 
）cm
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【题目】根据下列条件，分别求直线方程：
（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y﹣5=0垂直；
（2）求经过直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程．
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【题目】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p= 
x，q= 
．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？
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【题目】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
. 
。若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
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【题目】设集合A={x|2﹣5≤2﹣x≤4}，B={x|x2+2mx﹣3m2＜0，m＞0}．
（1）若m=2，求A∩B；
（2）若BA，求实数m的取值范围．
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【题目】已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=﹣ 
是y=f（x）的零点，直线x= 
为y=f（x）图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间（ 
， 
）上单调，则ω的最大值是（ ）
A.9
B.7
C.5
D.3
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