Question

已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求证：x₁，x₂是关于x的方程x²+2tx-t=0的两根；
（2）设|MN|=g（t），求函数g（t）；
（3）在（2）的条件下，若在区间[2，16]内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求实数m的最大值．

Answer 1

解：（1）函数可得f′（x）=1-，切点（x，x+），所以=1-，
可得x²+2tx-t=0，显然方程的两个根就是切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的横坐标，
所以x₁，x₂是关于x的方程x²+2tx-t=0的两根；
（2）因为M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
又f′（x）=1-，∴切线PM的方程为：y-（）=（1-）（x-x₁）．
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-（）=（1-）（1-x₁）．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，
∴ （*）
|MN|=
=
=
把（*）式代入，得|MN|=，
因此，函数g（t）的表达式为g（t）=（t＞0）
（3）易知g（t）在区间[2，16]上为增函数，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，m+1）．
则m•g（2）≤g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）对一切正整数n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（16）对一切的正整数n恒成立m，
即m＜=对一切的正整数n恒成立
由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a₁=a₂=a_m=2，a_m+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．
分析：（1）用导数值与切线的斜率相等，求出切点横坐标的关系，判断是方程x²+2tx-t=0的两根即可；
（2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可；
（3）利用函数的单调性转化为恒成立问题．
点评：本题第一问比较基础，二三问比较复杂，考切线问题，和数列问题，又渗透了恒成立思想，此题比较新，虽是压轴题但并不像以往压轴题的思路，有突破有创新，仔细审题是解题的关键．