Question

已知函数f（x）=

2-x

x+1

．
（1）用单调性的定义证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（2）若关于x的方程f（x）-3^x-m=0在x∈[1，+∞）上有解，求实数m的最大值；
（3）是否存在负数x₀，使得f（x₀）=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）用函数单调性的定义，当0＜x₁＜x₂时，判断f（x₁）-f（x₂）＞0，进而证明函数的单调性．
（2）方程f（x）-3^x-m=0等价于m=f（x）-3^x，利用m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上 单调减，可求实数m的最大值为；
（3）假设存在负数x₀，则：因为x₀为负数，所以0＜3^x＜1，所以0＜

2-x

x+1

＜1，∴

1

2

＜x＜2，从而矛盾，故可得结论．

解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（2）方程f（x）-3^x-m=0等价于m=f（x）-3^x，
由于m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上 单调减
∴m≤

1

2

-3=-2

1

2

∴实数m的最大值为-2

1

2

；
（3）不存在
假设存在负数x₀，则：因为x₀为负数，所以0＜3^x＜1，所以0＜

2-x

x+1

＜1，
∴

1

2

＜x＜2，与前面的假设相矛盾，
所以，不存在负数x₀，使得f（x₀）=3x0成立，

点评：本题的考点是函数最值的应用，主要考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是判断出函数的单调性，从而求出函数的最值．