Question

在平面直角坐标系xOy中,曲线C₁的参数方程为(φ为参数),曲线C₂的参数方程为(a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C₁,C₂各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.
(1)分别说明C₁,C₂是什么曲线,并求出a与b的值.
(2)设当α=时,l与C₁,C₂的交点分别为A₁,B₁,当α=-时,l与C₁,C₂的交点为A₂,B₂,求四边形A₁A₂B₂B₁的面积.

Answer 1

(1) C₁是圆,C₂是椭圆. a=3  b=1  (2)

(1)C₁是圆,C₂是椭圆.
当α=0时,射线l与C₁,C₂交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,a>0,所以a=3.当α=时,射线l与C₁,C₂交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.
(2) C₁,C₂的普通方程分别为x²+y²=1和+y²=1.
当α=时,射线l与C₁交点A₁的横坐标为x=,与C₂交点B₁的横坐标为x'=.
当α=-时,射线l与C₁,C₂的两个交点A₂,B₂分别与A₁,B₁关于x轴对称,因此,四边形A₁A₂B₂B₁为梯形.
故四边形A₁A₂B₂B₁的面积为=.