Question

已知函数f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若m=-1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a²+c²＜b²．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）求导，令f，（x）=0，解得x的值；由f'（x）与f（x）随x的变化情况求出f（x）的极值；
（Ⅱ）f（x）在定义域内为增函数时，f，（x）≥0恒成立，求出m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，△ABC的顶点在f（x）的图象上，由两点间的距离公式求出a²，c²，b²，即得所证．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+x²+mx，定义域为（0，+∞），
∴f，（x）=

1

x

+2x+m；
当m=-3时，f，（x）=

1

x

+2x+3，
令f，（x）=0，∴

2x2-3x+1

x

=0，即

(2x-1)(x-1)

x

=0，解得x=

1

2

或x=1；
则f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

∴f（x）_极大值=f（

1

2

）=-ln2-

5

4

，f（x）_极小值=f（1）=-2；
（Ⅱ）函数f（x）在定义域内为增函数，∴x＞0时，f，（x）=

1

x

+2x+m≥0恒成立，
∴m≥-（

1

x

+2x）（其中x＞0）恒成立；
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），
∴-(

1

x

+2x)max=-2

2

，∴m≥-2

2

；
∴实数m的取值范围是[-2

2

，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知m=-1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
△ABC的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，
且x₁＜x₂＜x₃，∴y₁＜y₂＜y₃；
∴a²=|BC|²=(x3-x2)2+(y3-y2)2，
c²=|AB|²=(x2-x1)2+(y2-y1)2，
b²=|AC|²=(x3-x1)2+(y3-y1)2=[(x3-x2)+(x2-x1)]2+[(y3-y2)+(y2-y1)]2
=(x3-x2)2+(x2-x1)2+(y3-y2)2+(y2-y1)2+2[(x3-x2)(x2-x1)+(y3-y2)(y2-y1)]；
∴a²+c²＜b²

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，函数与不等式的应用以及两点间的距离公式等知识，是较难的题．