【题目】如图所示,在三棱锥中,与都是边长为2的等边三角形,、、、分别是棱、、、的中点.
(1)证明:四边形为矩形;
(2)若平面平面,求点到平面的距离.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)运用中位线定理,证得四边形为平行四边形,再取BD的中点O,连接,,运用等边三角形的性质和线面垂直的判定定理,即可得证;
(2)由题意可得平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离.证明平面,求OM的长即可.
解:(1)如图,设的中点为,连接,,
∵、、、分别是棱、、、的中点.
∴,,且,
故,且,
∴四边形为平行四边形.
∵与都是等边三角形,
∴,,
又,∴平面,故,
又由上知,,∴,
∴四边形为矩形.
(2)如图,设交于,交于,连接,过作于.
∵,平面,平面,
∴平面.
∴点到平面的距离等于点到平面的距离,
∵在(1)的证明中有平面,平面,
∴,故由可得.
又∵,,
∴平面,
∴到平面的距离为.
∵平面平面,平面平面,,平面,
∴平面,
∴,于是.
又∵与都是边长为2的等边三角形,
∴,故,
∴在中,,
∴点到平面的距离为.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH中点,PA=AC=2,BC=1.
(Ⅰ)求证:AH⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N,使得MN∥平面ABC,若存在,请说明点N的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】某学校为调查高二年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高(单位:)在内的男生人数有16人.
(Ⅰ)求在抽取的学生中,男女生各有多少人?
(Ⅱ)根据频率分布直方图,完成下列的列联表,并判断能有多大(百分之几)的把握认为“身高与性别有关”?
总计 | |||
男生人数 | |||
女生人数 | |||
总计 |
附:参考公式和临界值表:
,
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
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【题目】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?
(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?
(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为( )
A. 12000立方尺B. 11000立方尺
C. 10000立方尺D. 9000立方尺
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【题目】已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆E上,∠F1AF2=60°,△F1AF2的面积为4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P,Q两点,证明:点O到直线PQ的距离为定值,并求出这个定值.
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【题目】某社区为了解居民参加体育锻炼情况,随机抽取18名男性居民,12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类:甲类(不参加体育锻炼),乙类(参加体育锻炼,但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时),丙类(参加体育锻炼,且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时),调查结果如下表:
(1)根据表中的统计数据,完成下面列联表,并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?
(2)从抽出的女性居民中再随机抽取2人进一步了解情况,求所抽取的2人中乙类,丙类各有1人的概率.
附:
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【题目】已知函数,,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)用表示,中的较大者,记函数.若函数在内恰有2个零点,求实数的取值范围.
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