Question

下列数表为一组等式，如果能够猜测S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c)，则3a+b=

 

．
       s₁=1，
     s₂=2+3=5，
   s₃=4+5+6=15，
 s₄=7+8+9+10=34，
s₅=11+12+13+14+15=65．

Answer 1

分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，可得S_n=

1

2

（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，结合题中等式采用比较系数法可得a、b、c的值，从而求出3a+b的值．

解答：解：由题中数阵的排列特征，得S_n共有n连续正整数相加，并且最大加数为

n(n+1)

2

∴S_n=n•

n(n+1)

2

+

n(n-1)

2

×(-1)=

1

2

（n³+n），可得S_2n-1=

1

2

[（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1
若S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c)，则

2a=4 2b-a=-6 2c-b=4 -c=-1

，解之得a=2，b=-2，c=1
∴3a+b=3×2-2=4
故答案为：4

点评：本题以一个三角形数阵为载体，考查了等差数列的通项与求和公式、比较系数法解多项式恒等及简单的合情推理等知识，属于中档题．