Question

【题目】已知数列{an}满足：a1=1，an+1= an+ （n∈N*）．
（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N* ， 恒有0＜an≤M．
（2）求证：对任意的n∈N* ， 恒有 ≤an≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜an≤1．

下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1成立；

②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有0＜ak≤1．

则n=k+1时，易知k＜2k，

∴0＜ak+1= + ＜ ≤ ＜ + =1，

因此当n=k+1时假设成立，

综上可得：最小的正实数M=1，使得对任意的n∈N*，恒有0＜an≤M

（2）证明：先证明右边：由（1）可得：0＜an≤1．

∴an+1= an+ =an ≤an（ ）≤an（ ）≤an（ ）= an，（2n≤2n）．

∴an≤ ≤ = ，因此右边成立．

证明左边：下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1= ，成立；

②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有ak≥ ．

则n=k+1时，要证明：ak+1≥ ，

又ak+1= + ，

∴只要证明： + ≥ ，

化为：k（5×2k+4） +2kak﹣182k≥0，

解出：ak≥ ≥ = ．

因此当n=k+1时也成立，

综上①②可得：左边成立．

因此：对任意的n∈N*，恒有 ≤an≤

【解析】（1）最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N* ， 恒有0＜an≤1．利用数学归纳法即可证明．（2）先证明右边：由（1）可得：0＜an≤1．通过放缩：an+1= an+ =an ≤an（ ） an ， （2n≤2n）．可得：an≤ ．证明左边：利用数学归纳法证明即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．