Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为4，设右焦点为F₁，离心率为e．
（1）若e=

2

2

，求椭圆的方程；
（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若k≥

3

，求e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的焦距为4，e=

2

2

，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）①设出A的坐标，利用AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，求出M、N的坐标，根据原点O在以线段MN为直径的圆上，可得OM⊥ON，从而可得结论；
②直线方程与椭圆、圆联立，表示出k，根据k≥

3

，即可求e的取值范围．

解答：解：（1）由题意，

c=2 c a = 2 2

，∴c=2，a=2

2

，∴b=

a2-c2

=2
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）①证明：设A（x，y）则B（-x，-y）
因为椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1，所以右焦点F₁（2，0），M（

x+2

2

，

y

2

），N（

-x+2

2

，-

y

2

），
∵原点O在线段MN为直径的圆上，∴OM⊥ON，
∴

x+2

2

•

-x+2

2

-

y

2

•

y

2

=0，
∴x²+y²=4，∴点A在定圆上．
②解：由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2=4

，可得

x2 a2 + (kx)2 b2 =1 x2+(kx)2=4

，∴

1

a2

+

k2

b2

=

1

4

(1+k2)
将e=

c

a

=

2

a

，b²=a²-c²=

4

e2

-4，代入上式可得k2=

e4-2e2+1

2e2-1

∵k≥

3

，∴k2=

e4-2e2+1

2e2-1

≥3
∴

e4-8e2+4

2e2-1

≥0
∵0＜e＜1
∴

2

2

＜e≤

3

-1．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题．