Question

已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=45°，AD=2，AB=

2

，BC=1，P是边AB所在直线上的动点，则|

PC

+2

PD

|的最小值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、

  5 2

  2

• D、

  25

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：建立适当的直角坐标系，使点P在x轴上，设P（x₀，0），将向量

PC

，

PD

坐标化，从而将|

PC

+2

PD

|表示为x₀的函数，再探求函数的最小值．

解答： 解：以点A为坐标原点，边AB所在直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如右图所示．
由题意得A（0，0），B(

2

，0)，C(

3 2

2

，

2

2

)，D(

2

，

2

)，
设P（x₀，0），则

PC

=(

3 2

2

-x0)，

PD

=(

2

-x0，

2

)，
从而

PC

+2

PD

=(

3 2

2

-x0，

2

2

)+2(

2

-x0，

2

)
=(

7 2

2

-3x0，

5 2

2

)，
∴|

PC

+2

PD

|=

( 7 2 2 -3x0)2+( 5 2 2 )2

，
当

7 2

2

-3x0=0即x0=

7 2

6

时，|

PC

+2

PD

|有最小值

5 2

2

．
故选C．

点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，模长公式，关键是根据已有信息，抓住图形的几何特征，写出各点的坐标，再进行数值计算．值得注意的是，本题的建系方式不唯一，不同的建系方式，使得点和向量的坐标也可能不同，建系的一般原则是：尽量将点或图形分布在坐标轴上，这样便于标出点的坐标．