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定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
分析:(1)先根据f(x)是定义在R上的奇函数,判断f(0)=0,再根据当x<0时,f(x)=-f(-x)根据x,0时,f(x)=-x2+mx-1得到x>0时函数的解析式,最后综合即可得到答案.
(2)由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2得出关于m的不等关系,从而求得实数m的取值范围.
解答:解:(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-x2-mx-1(2分)
又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),(3分)
所以,f(x)=x2+mx+1(x>0),(4分)
又f(0)=0,(6分)
所以f(x)=
x2+mx+1 x>0
0  x=0
-x2+mx-1  x<0
(7分)
(2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,(8分)
由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,(9分)
又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,(10分)
即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2(11分)
△=m2-4>0
x1+x2=-m>0
x1x2=1>0
⇒m<-2
,(14分)
所以,所求实数m的取值范围是m<-2(15分)
点评:本小题主要考查函数与方程的综合运用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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