(本题满分14分)已知函数(常数
.
(Ⅰ) 当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数在区间
上零点的个数(
为自然对数的底数).
解:(Ⅰ)当时,
. …1分
. 又
,
∴曲线在点
处的切线方程为
.即
.…3分
(Ⅱ)(1)下面先证明:.
设 ,则
,
且仅当,所以,
在
上是增函数,故
.
所以,,即
. …………………………5分
(2)因为,所以
.
因为当时,
,当
时,
.
又,所以
在
上是减函数,在
上是增函数.所以,
…9分
(3)下面讨论函数的零点情况.
①当,即
时,函数
在
上无零点;
②)当,即
时,
,则
而,
∴
在
上有一个零点;
③当,即
时,
,
由于,
,
,
所以,函数在
上有两个零点. ……………………………………13分
综上所述,在
上,我们有结论:当
时,函数
无零点;当
时,函数
有一个零点;当
时,函数
有两个零点. ………………………………14分
解法二:(Ⅱ)依题意,可知函数的定义域为
,
. ………5分
∴当时,
,当
时,<
解析
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题15分)已知函数是奇函数,且图像在点
为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1) 求实数、
的值;
(2) 若,且
对任意
恒成立,求
的最大值;
(3) 当时,证明:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(理数)(14分) 已知函数,
.
(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)- [h(x)]
,求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设,解关于x的方程
;
(Ⅲ)设,证明:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为:p=24200-0.2x2,且生产x吨的成本为
(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(注:利润=收入─成本)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知f (x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=-1时, f (x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,|f (x)|>g(x)+1/2;
(3)是否存在实数a,使f (x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
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