Question

设函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）若a₁=2，试比较a₂与a₃的大小；
（2）若0＜a₁＜1，求证：0＜a_n＜1对任意n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），可得a₃-a₂＜0，从而可得结论；
（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．

解答：（1）解：a₁=2时，a₂=f（2）=2-sin2∈（0，2），所以sina₂＞0，
所以a₃-a₂=-sina₂＜0，所以a₂＞a₃．（4分）
（2）证明：①n=1时，结论成立；
②设n=k时，0＜a_k＜1，则当n=k+1时，a_k+1-a_k=-sina_k＜0，即a_k+1＜a_k＜1，（6分）
当x∈（0，1）时，f'（x）=1-cosx＞0，
即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a_k+1=f（a_k）＞f（0）=0，即0＜a_k+1＜1
即n=k+1时，结论成立，
综上可得，当0＜a₁＜1时，0＜a_n＜1对任意n∈N^*恒成立，（10分）

点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．