Question

设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，
（1）判断f（x）的奇偶性； 
（2）判断f（x）的单调性；
（3）解不等式

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)，（b²≠2）．

Answer 1

分析：（1）利用定义：令x=y=0，可求得f（0），令y=-x，可得f（x）与f（-x）的关系，由奇偶性的定义即可作出判断；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，由x＞0时，f（x）＜0可判断f（x₂-x₁）的符号，从而可得f（x₂）与f（x₁）的大小关系，由单调性定义即可作出判断；
（3）利用函数的奇偶性、单调性可把不等式转化为具体二次不等式，由b²≠2分类讨论即可解得；

解答：解：（1）令x=y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₂-x₁）=f[x₂+（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
由x＞0时，f（x）＜0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
故f（x）为减函数；
（3）不等式

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)可变为

1

2

f（bx²）-

1

2

f（b²x）＞f（x）-f（b）=f（x-b），
⇒f（bx²-b²x）＞f（2x-2b），
由（2）知f（x）单调递减，
所以bx²-b²x＜2x-2b，即bx²-（b²+2）x+2b＜0，
当b=0时，原不等式解集（0，+∞）；
当b＜-

2

时，原不等式解集{x/x＞

2

b

或x＜b}；
当-

2

＜b＜0时，原不等式解集{x/x＜

2

b

或x＞b}；
当0＜b＜

2

时，原不等式解集{x/b＜x＜

2

b

}；
当b＞

2

时，原不等式解集{x/

2

b

＜x＜b}；

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的判断，考查抽象不等式的求解，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．