Question

如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．
②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．

Answer 1

解：如图所示，
（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为900，此时BC=10；
所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm²．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x＜30），
∴S=2x =2 ≤x²+（400-x²）=400，当且仅当x²=400-x²，即x=10 时，S取最大值400；
所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm²．
（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm²．
分析：（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x =2 ，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；
（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．
点评：本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．