Question

【题目】抛物线的图象关于轴对称，顶点在坐标原点，点在抛物线上.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设直线的方程为，若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0），把点P（1，4）代入解得p．可得抛物线C的标准方程．

（2）直线l的方程为：y＝kx+1，代入抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意可得：0，可得（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，把根与系数的关系代入即可得出．

（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0），把点P（1，4）代入可得：42＝2p×1，解得2p＝16．

∴抛物线C的标准方程为：y2＝16x．

（2）直线l的方程为：y＝kx+1，代入抛物线方程可得：k2x2+（2k﹣16）x+1＝0，

△＝64﹣16k＞0，解得k＜4．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，．

，，

由题意可得：

.

∴17k2﹣46k﹣15＝0，

解得k或k＝3．