Question

给出下列四个结论：
①若α、β为锐角，tan（α+β）=-3，tanβ=

1

2

，则α+2β=

3π

4

；
②在△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，则△ABC一定是钝角三角形；
③已知双曲线

x2

4

+

y2

m

=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）；
④当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x²=

4

3

y．其中所有正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由题意可先求tan（α+2β）=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

，结合α，β为锐角且tanβ=

1

2

可求α+2β的范围，进而可求
②由

AB

•

BC

＞0，可得

BA

•

BC

＜0，则B＞90°
③根据离心率的范围求得m的取值范围判断．
④，先求出直线恒过的定点，再求出符合条件的抛物线方程

解答：解：①由tan（α+β）=-3，tanβ=

1

2

，则可得tan（α+2β）=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=

-3+ 1 2

1+3× 1 2

=-1
∵α，β为锐角且tanβ=

1

2

＜

3

3

可知β＜

π

6

∴0＜α+2β＜

5π

6

∴α+2β=

3π

4

，故①正确
②△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，则

BA

•

BC

＜0，则B＞90°，则△ABC一定是钝角三角形，故②正确
③离 心率1＜e=

4-m

2

＜2，解得-12＜m＜0，故m的范围是-12＜m＜0，③正确，
④整理直线方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3），可设抛物线方程为x²=2py，由过（-2，3）可得4=6p，则p=

3

2

，故符合条件的方程是 x2=

4

3

y，则④正确
故其中所有正确结论的个数是：4
故选D．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、不等式的解法，两角和的正切公式的应用及向量的夹角的应用．