Question

【题目】设等比数列{an}的前项n和Sn ， a2= ，且S1+ ，S2 ， S3成等差数列，数列{bn}满足bn=2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=anbn ， 若对任意n∈N+ ， 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列{an}的公比为q，

∵ 成等差数列，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴

（2）解：设数列{cn}的前项n和为Tn，则Tn=c1+c2+c3+…+cn，

又 ，

∴ ， ，

两式相减得 ，

∴ ，

又 ，

∴对任意n∈N+，不等式 恒成立等价于 恒成立，

即 恒成立，即 恒成立，

令 ， ，

∴f（n）关于n单调递减，∴ ，∴λ≤2，

∴λ的取值范围为（﹣∞，2]

【解析】（1）由S1+ ，S2 ， S3成等差数列，可得 ，化简为 ，又因为 ，解得a1和q，即可求出等比数列{an}的通项公式；（2）因为{an}是等比数列，{bn}是等差数列，而cn=anbn ， 故利用错位相减法即可求出Tn=c1+c2+…+cn ， 将Tn和Sn代入不等式，并整理得 ，记f（n）= ，
利用作差法可得f（n）关于n单调递减，则f（n）max=f（1）=1，故 ，即λ≤2．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．