Question

如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：CE⊥AF；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意，可得直三棱柱AED-BFC中，底面△DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2且DA⊥平面ABEF，侧面ABFE、ABCD都是边长为2的正方形．连接EB，可得MN是△BEC的中位线，可得MN∥EC，利用线面平行判定定理可证出MN∥平面CDEF；
（2）由正方形的性质证出EB⊥AF，利用线面垂直的定义与性质证出BC⊥AF，从而得到AF⊥平面BCE，结合CE?平面BCE可得CE⊥AF；
（3）等腰Rt△ADE中作出斜边DE上高AH，可得AH的长．利用面面垂直的性质定理证出AH⊥平面CDEF，得AH是A-CDEF的高，根据四棱锥的体积公式加以计算，即可得出多面体A-CDEF的体积．

解答：解：由多面体AEDBFC的直观图及三视图，可得
三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，
且DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．
（1）连接EB，则点M为BE、AF的交点
∴M是EB的中点，N是BC的中点，∴△EBC中，MN∥EC，
∵EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF…（4分）
（2）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴BC⊥AF，
∵四边形ABFE是正方形，∴EB⊥AF，
∵BE、BC是平面BCE内的相交直线，
∴AF⊥平面BCE，结合CE?平面BCE，得CE⊥AF．    …（8分）
（3）∵DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又∵EF⊥AE，AD∩AE=A，∴EF⊥平面ADE，
取DE的中点H，连结AH，Rt△ADE中，
由DA=AE=2得AH⊥DE且AH=

2

，
∵侧面CDEF⊥平面DAE，侧面CDEF∩平面DAE=DE
∴AH⊥平面CDEF
因此，多面体A-CDEF的体积为
V=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

． …（12分）

点评：本题给出三棱柱的三视图，求证三棱柱中的线面平行、线线垂直并求四棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行判定定理和锥体体积求法等知识，属于中档题．