Question

当正三角形的边长为n（n∈N^*）时，图（1）中点的个数为f₃（n）=1+2+3+…+（n+1）=（n+1）（n+2）；当正方形的边长为n时，图（2）中点的个数为f₄（n）=（n+1）²；在计算图（3）中边长为n的正五边形中点的个数f₅（n）时，观察图（4）可得f₅（n）=f₄（n）+f₃（n-1）=（n+1）²+=（n+1）（3n+2）；…．则边长为n的正k边形（k≥3，k∈N）中点的个数f_k（n）=    ．

Answer 1

【答案】分析：先观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f₃（n-1）的三角形，
依此类推可以推知边长为n的正k（k≥5，k∈N）边形就可以分割为一个点数为f₄（n）的四边形和k-4个点数为f₃（n-1）的三角形，结合数列的递推关系即可得出答案．
解答：解：观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f₃（n-1）的三角形，
依此类推可以推知边长为n的正k（k≥5，k∈N）边形就可以分割为一个点数为f₄（n）的四边形和k-4个点数为f₃（n-1）的三角形，
即f_k（n）=f₄（n）+（k-4）f₃（n-1），并且这个规律对k=3，4也成立，
这样f_k（n）=f₄（n）+（k-4）f₃（n-1）
=（n+1）²+（k-4）
=（n+1）[（k-2）n+2]（k≥3，k∈N）．
故答案为：（n+1）[（k-2）n+2]．
点评：本题考查数列的递推关系、类比思想及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力．