Question

在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P是直线y=2x-5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PM⊥x轴；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点C的坐标为（x，y），再由共线向量定理求解．（Ⅱ）对函数求导得．设切点坐标，得切线方程．又设点P的坐标为（t，2t-5），由切线过点P，得E，F所在的直线方程，由韦达定理求得M坐标得证．（Ⅲ）先求得直线AB的方程为：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，
解答：解：（Ⅰ）如图，设点C的坐标为（x，y）（x≠0，y≠0），
则，
∵，
∴x•（-x）+y•4=0，即．
∴所求的轨迹T是除去顶点的抛物线（3分）
（Ⅱ）对函数求导得，．
设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是，
该切线方程是．
又设点P的坐标为（t，2t-5），
∵切线过点P，
∴有，
化简，得x²-2tx+8t-20=0．（6分）
设A、B两点的坐标分别为、，
则x₁、x₂为方程x²-2tx+8t-20=0的两根，x₁+x₂=2t，?x₁x₂=8t-20．
∴
因此，当t=0时，直线PM与y轴重合，当t≠0时，直线PM与y轴平行（9分）
（Ⅲ）∵=．
∴点M的坐标为．
又∵．
∴直线AB的方程为：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，
∴对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为（4，5）．（14分）
点评：本题主要考查向量法求轨迹方程，导数法求切线方程以及直线过定点问题．