Question

已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

Answer 1

分析：（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，要使函数在区间[-1，1]上存在零点，则f（-1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范围；
（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12-t求出t的值，验证范围后即可得到答案．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²-16x+q+3的对称轴是x=8
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减
∴要使函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，须满足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+q+3）•（1-16+q+3）≤0
解得-20≤q≤12．
所以使函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点的实数q的取值范围是[-20，12]；
（2）当

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，∴t=

15± 17

2

．
经检验t=

15± 17

2

不合题意，舍去．
当

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，
即[q-61，q-57]．
∴q-57-（q-61）=4=12-t．
∴t=8
经检验t=8不合题意，舍去．
当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，
即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t
∴t²-17t+72=0，∴t=8或t=9．
经检验t=8或t=9满足题意，
所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．