Question

求证：关于x的方程x²+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2.

Answer 1

思路分析：本题的条件是p:m≥2，结论是q:方程x²+mx+1=0有两个负实根，然后要明确充分性的证明是：pq.必要性的证明是qp.?

证明：（1）充分性：∵m≥2,∴Δ=m²-4≥0.?

∴x²+mx+1=0有实根，两根设为x₁,x₂

由韦达定理知x₁x₂=1＞0.?

∴x₁与x₂同号,?

又x₁+x₂=-m≤-2＜0,∴x₁、x₂同为负实数.?

即x²+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.?

（2）必要性:

∵x²+mx+1=0有两个负实根x₁和x₂且x₁x₂=1,∴m-2=-（x₁+x₂）-2=-（x₁+）-2=- ≥0,故m≥2.

即x²+mx+1=0有两负实根的必要条件是m≥2.?

综上m≥2是x²+mx+1=0有两负实根的充分条件,也是必要条件.

温馨提示

本题关键是分清命题的条件p，结论q分别表示什么，且分清“充分条件”和“必要条件”的不同.