【题目】如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.
【答案】
(1)
解:由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,
由抛物线定义得, ,即p=2
(2)
解:由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,
∵AF不垂直y轴,
∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),
联立 ,得y2﹣4sy﹣4=0.
y1y2=﹣4,
∴B ,
又直线AB的斜率为 ,故直线FN的斜率为 ,
从而得FN: ,直线BN:y=﹣ ,
则N( ),
设M(m,0),由A、M、N三点共线,得 ,
于是m= = ,得m<0或m>2.
经检验,m<0或m>2满足题意.
∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).
【解析】(1)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;
(2)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.
本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.
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【题目】【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(1)A.【选修4—1几何证明选讲】
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC , D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.
(2)B.【选修4—2:矩阵与变换】
已知矩阵A= 矩阵B的逆矩阵B﹣1= ,求矩阵AB.
(3)【选修4—4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数方程为 ( 为参数).设直线l与椭圆C相交于A , B两点,求线段AB的长.
(4)D. 设a>0,|x﹣1|< ,|y﹣2|< ,求证:|2x+y﹣4|<a.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1,A1A⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,A1A=AB=6,D为AC中点.
(1)求三棱锥C1﹣BCD的体积;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)求证:直线AB1∥平面BC1D.
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【题目】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,.
(1)证明:BCA1D;
(2)求二面角A-CC1-B的余弦值.
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【题目】
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请建立关于的回归方程(系数精确到0.01);
(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考公式:设具有线性相关关系的两个变量的一组观察值为,
则回归直线方程的系数为:
, .
参考数据: , .
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为y=3+ .
(1)写出曲线C的一个参数方程;
(2)在曲线C上取一点P,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,求矩形OAPB的周长的取值范围.
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