Question

（2013•红桥区二模）已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于

3

2

．
（1）求椭圆的方程．
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₁F₂分别是左、右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得b，由离心率等于

3

2

结和a²=b²+c²可求a，则椭圆的方程可求；
（2）在三角形F₁QF₂中，利用椭圆定义及余弦定理可求∠F₁QF₂的取值范围；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-

1

k

x+1．把两直线分别和椭圆联立后求出A、C点的横坐标，由|AB|=|AC|得到含有A、C横坐标的等式，把A、C的横坐标代入等式后即可求得k的值．

解答：解：（1）依题意，b=1，因为椭圆的离心率等于

3

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设|QF₁|=m，|QF₂|=n，则m+n=4，|F1F2|=2

3

，
在三角形F₁QF₂中，由余弦定理得：
cos∠F1QF2=

m2+n2-12

2mn

=

(m+n)2-2mn-12

2mn

=

4-2mn

2mn

=

2

mn

-1≥

2

(m+n)2 4

-1=-

1

2

，
当且仅当m=n时“=”成立．
所以-

1

2

≤cos∠F1QF2≤1，故0°≤∠F1QF2≤120°；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），
则BC的方程为y=-

1

k

x+1．
联立

y=kx+1 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得xA=-

8k

1+4k2

①．
联立

y=- 1 k x+1 x2+4y2=4

，得xC=-

8k

4+k2

②．
因为|AB|=|AC|，所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
将yA=kxA+1，yC=-

1

k

xC+1代入得：
k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0．
因为k＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=

3+ 5

2

，k=

3- 5

2

，
所以存在这样的等腰直角三角形．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了利用椭圆定义及余弦定理求解椭圆中与三角形有关的问题，考查了数学转化思想方法，考查了学生的计算能力，是难题．