Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，n=4，5，…，则a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3中，以n+1替换n，得到a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，作和后可得数列{a_n}的偶数项和偶数项均构成等差数列，由已知求出偶数项的公差，代入等差数列的通项公式求得a₂₀₁₄的值．

解答： 解：由a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得
a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，
两式作和得：a_n+1=2a_n-1-a_n-3．
即a_n+1+a_n-3=2a_n-1（n=4，5，…）．
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项均构成等差数列，
∵a₂=4，a₄=12，∴偶数项公差为8．
则a₂₀₁₄=a₂+8（1007-1）=4+8×1006=8052．
故答案为：8052．

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属中档题．