Question

如图，椭圆的两顶点为A(

2

，0)，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F₁，F₂．
（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设过F₁的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF₂面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的方程求得a和b，c，进而求得焦点的坐标，表示出

AB

假设存在点C，使CF₁⊥CF₂，求得|OC|，令

AC

=λ

AB

，利用

OC

=

OA

+

AC

=

OA

+λ

AB

求得λ的方程，解方程求得λ．
（2）设出P，Q的坐标，通过焦半径公式求得|PQ|的表达式，先看PQ⊥x轴时，则可求得x₁=x₂=-1进而求得△PQF₂面积；再看PQ与x轴不垂直时，设出PQ的方程，由点到直线的距离公式可得点F₂到PQ的距离表示出△PQF₂面积的表达式，利用基本不等式求得△PQF₂面积的范围，最后综合推断出△PQF₂面积的最大值．

解答：解：由已知可得椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，
且有：a=

2

，b=c=1，F₁（-1，0），
F₂（1，0），

AB

=(-

2

，1)．
（1）假设存在点C，使得CF₁⊥CF₂，
则：OC=

1

2

F1F2=1，
令

AC

=λ

AB

（λ∈[0，1]），
而

OC

=

OA

+

AC

=

OA

+λ

AB

=
(

2

，0)+λ(-

2

，1)=(

2

-λ

2

，λ)，
故有：(

2

-

2

λ)2+λ2=1，解得λ=1或λ=

1

3

．
所以点C的坐标为C（0，1）或C(

2 2

3

，

1

3

)．

（2）若设过F₁的直线l交椭圆于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由焦半径公式可得：PQ=PF1+QF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2

2

+

2

2

(x1+x2)，
当PQ⊥x轴时，x₁=x₂=-1，此时S△PQF2=

1

2

PQ•F1F2=PQ=2

2

-

2

=

2

．
当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为y=k（x+1），（k＞0），
则由：

y=k(x+1) x2+2y2=2

得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，故x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
于是可得：PQ=2

2

+

2

2

(x1+x2)=2

2

-

2

2

•

4k2

2k2+1

=2

2

•

k2+1

2k2+1

．
又由点到直线的距离公式可得点F₂到PQ的距离d=

2k

k2+1

，
故S△PQF2=

1

2

PQ•d=

1

2

•2

2

•

k2+1

2k2+1

•

2k

k2+1

=2

2

•

k• k2+1

2k2+1

．
因为2k2+1=k2+k2+1＞2k•

k2+1

，
所以S△PQF2=2

2

•

k• k2+1

2k2+1

＜

2

．
综上可知，当直线PQ⊥x轴时，△PQF₂的面积取到最大值

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了运用解析几何的基础知识解决实际问题的能力．