Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设

AP

=a

AD

+β

AB

（α，β∈R），则α+β的取值范围是（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ]
• B、[

  4

  3

  ，

  5

  3

  ]
• C、（1，

  4

  3

  ）
• D、（1，

  5

  3

  ）

Answer 1

分析：建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用α，β表示，代入圆内方程求出范围．

解答：解：以D为坐标原点，CD为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
正弦BD的方程为x+3y=0
C到BD的距离为

1

10

∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为(x+1)2+y2=

1

10

设P（x，y）则

AP

=(x，y-1)，

AD

=(0，-1)，

AB

=(-3，0)
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∴x=-3β，y=1-α
∵P在圆内
∴(-3β+1)2+(1-α)2＜

1

10

，
解得1＜α+β＜

5

3

故选D

点评：通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式．